BDD P. Système P. Linéaire POO G. Logiciel Simu Anglais

L3

Exercice 3

1) Les temps d'inter-arrivée suivent une loi exponentielle de moyenne = 5 minutes. Les temps de services suivent une loi triangulaire. (avec min = 2, max = 6, mode = 3).

Pour l'exponentielle

La variable aléatoire X suit la loi exponentielle de moyenne 5 (min) et donc a un paramètre

λ = 1 / E(X) = 1 / 5 = 0,2 (pièce / min)

Note : λ est le taux d'arrivée des pièces dans le système.

X ∈ [0; +∞)     ƒ(x) = x / eλx

Méthode des fonctions inverses

F(x) = -∞∫x ƒ(t)dt
F(x) = 1 - e- λx

1 - e- λ x = z
1 - z = e- λ x
ln(1 - z) = - λ x

x = ln(1 - z) / (-λ)
F-1(z) = ln(1 - z) / (-λ)

Pour la triangulaire

F(x) = -∞ ∫ x ƒ(t)dt
-∞ ∫ +∞ ƒ(x)dx = 1

Dans notre cas, en prenant min = 2, max = 6 et mode = 3, on a :

f (x) =

De plus, on a :

C'est ce qui explique, dans le code de génération des temps de service le code suivant :

if (y <= f(x))
  return x;
else
  return fct_gen_ts();

E(x) = (a + b + c) / 3 = (2 + 3 + 6) / 3 = 3.66 min

b) λ = 0,2 clients / min

c) μ = 1 / E(x) = 1 / 3.66 = 0.27 clients / min

Pour déstabiliser le système, nous pourrions modifier la valeur de μ

λ = le taux des clients = 1 / E(X)

μ = le taux de service du serveur = 1 / E(Y)

X est la variable aléatoire qui représente le temps d'inter-arrivées. Y est la variable aléatoire qui représente le temps de traitement (aussi appelé le temps de service).

Prenons la loi triangulaire : min = 3, max = 8, mode = 5

Puisqu'il s'agit d'une loi uniforme, l'aire = 1. Pour calculer la hauteur (= la maximale), il nous suffit d'utiliser la formulaire de l'aire qui est aire = base * hauteur / 2. On a donc :

(8 - 2) × h / 2 = 1 ⇒ h = 2 / 6 = 1 / 3

Ρ ≥ 1 ⇒

Par exemple, on choisit un temps d'inter-arrivées = 3 minutes.

⇒ λ' = 1 / E(X) = 1 / 3 = 0,33 clients / min

⇒ Ρ' = λ' / μ = 0,33 / 0,27 > 1

⇒ Congestion, à priori