Le développement limité

Le développement limité consiste à transformer une fonction en un polynôme qui est une somme d'éléments. Ces éléments sont trouvés à partir de la formule de Taylor-Young.

Le but du développement limité est de trouver un polynôme qui se rapproche le plus possible d'une fonction. Pour certaines fonctions, il est difficile de :

Les dériver
Trouver les limites
Prouver qu'elles sont intégrables

Si on arrive à trouver le développement limité d'une fonction, on peut ensuite dériver, trouver les limites, etc.

Formule de Taylor-Young

C'est cette formule qui permet de trouver le développement limité d'une fonction :

Si on a une fonction f dérivable n fois au point x₀, le développement limité en ce point est :

Où :

k! est la factorielle de k (e.g. 3! = 1 × 2 × 3).
f^(k) est la k-ième dérivée de la fonction f.

Plus on calcul d'éléments de cette formule, et plus on s'approche de la fonction initiale.

Exemple

Prenons par exemple, la fonction :

Première itération

On applique la formule de Taylor-Young une première fois. Ici, on va prendre x₀ = 0.

On a donc :

Petite aide : Pour dériver les fonctions sin et cos plusieurs fois facilement, on peut se représenter le cercle trigonométrique, placer les fonctions sur les extrémités des axes et tourner dans le sens des aiguilles d'une montre pour avoir la fonction dérivée.

Par exemple, la dérivée de sin(x) est cos(x), la dérivée de cos(x) est -sin(x), etc.

Deuxième itération

C'est vraiment pas terrible, du coup on calcule la deuxième itération :

Puisque la fonction est paire, on tombe sur un zéro et on retrouve la même formule que précédemment, on applique donc une nouvelle itération :

Troisième itération